الأعداد النسبية الصحيحة وخصائصها –

تُستخدم الأرقام عمومًا في العمليات الحسابية المختلفة مثل الجمع والطرح وما إلى ذلك. وهي مقسمة إلى أعداد نسبية وأعداد صحيحة وكسور وما إلى ذلك. أما الخصائص التي تنطبق على الأعداد الحقيقية، فهي تنطبق أيضًا على الأعداد النسبية.

أعداد عقلانية صحيحة

• وتتكون من كتابة العدد المكون من بسط ومقام، على سبيل المثال:
• البسط والمقام هما أعداد صحيحة.
• لا يمكن للمقام أن يساوي الصفر بالمعنى B
• تكون الأعداد النسبية موجبة إذا كان البسط والمقام موجبين (+).
• إذا كان للبسط أو المقام إشارة سالبة (-)، فإن العدد النسبي يكون سالبًا.
• الأعداد النسبية تشمل جميع الأعداد الحقيقية، والأعداد الحقيقية تشمل جميع الأعداد الصحيحة، والأعداد الصحيحة تشمل جميع الأعداد الطبيعية.
• يمكن تحويل الأرقام المنطقية إلى أعداد صحيحة بما في ذلك العلامة العشرية.
• لا يجب كتابة الصفر في المقام، بل يمكن كتابته في البسط.

خصائص الأعداد النسبية

• خاصية التبديل a+b=b+a
• الخاصية الترابطية حيث (n + m) + f = n + (m + f)
• خاصية التوزيع A × (B + C) = (A × B) + (A × C)
• خاصية العدد المحايد بحيث يكون الصفر عنصرًا محايدًا مضافًا والرقم 1 عنصرًا محايدًا مضاعفًا.
• الخاصية العكسية هي عكس الجامعة
• المعكوس المضاعف لـ l هو

حالات الأعداد النسبية

• إذا ضرب البسط والمقام معًا، فإن القيمة لا تساوي صفرًا أبدًا.
• عند قسمة كل من المقام والبسط على عدد صحيح نسبي، لا تتغير قيمة البسط، ولا تتغير قيمة البسط كمقسوم على 3. والنتيجة هي نفس النسبة الأولى، ولكن مع التبسيط.
• إن جمع وطرح الأعداد النسبية معًا يؤدي دائمًا إلى الحصول على عدد نسبي.
• إذا قمت بإضافة رقمين نسبيين ولهما مقام مشترك، في هذه الحالة يتم إضافة البسط والمقام موحد، على سبيل المثال + =
• عند ضرب عددين نسبيين معًا، يكون حاصل ضرب الأعداد الأولية مقسومًا على حاصل ضرب المقامات، مثل ==.
• الجذر التربيعي يساوي دائمًا عددًا نسبيًا وهو الرقم الموجود داخل الجذر.
• وفي حالة الضرب بجذور كسرية، يؤدي ذلك إلى الحصول على أعداد كسرية أغلبها ==2، وهو عدد كسري صحيح.
• الشكل القياسي للرقم النسبي هو أن يكون للبسط والمقام عامل مشترك قيمته تساوي الرقم 1.
• الأعداد النسبية لها خاصية الكثافة. بين كل عدد نسبي آخر هناك أعداد لا حصر لها محصورة بينهما.
• كلما كان المقام أكبر، كلما كان العدد النسبي أكبر. بين 25 و 35 لا توجد أرقام بين الرقم 2 والرقم 3.
• يُسمى العدد النسبي عددًا نسبيًا إذا لم يكن من الممكن اختزاله إلى أي شيء أكثر من ذلك وكان العامل المشترك الوحيد بين البسط والمقام هو واحد.

انظر هنا:

أمثلة توضيحية للأعداد النسبية

العمليات الخاصة ذات الأعداد النسبية

• عملية الجمع: يمكن إضافة رقمين نسبيين وتكون النتيجة رقم نسبي.
• عملية الطرح: إذا تم طرح رقمين نسبيين، فإن النتيجة هي رقم نسبي.
• الضرب: عندما نضرب عددين نسبيين نحصل على عدد نسبي.
• القسمة: عندما تتم القسمة على رقمين نسبيين، فإن النتيجة هي رقم نسبي.

يمكن إجراء قسمة الأعداد النسبية بطريقة أكثر بساطة عن طريق عكس الرقم النسبي الآخر وتحويل القسمة إلى الضرب على النحو التالي:

أشهر الباحثين الذين درسوا العدد النسبي

أرقام غير منطقية

• وهي أعداد لا يمكن كتابتها على صورة كسور، ولكن يمكن كتابتها على صورة أعداد عشرية، وهذه الأعداد العشرية لا نهائية.

أمثلة خاصة على الأعداد غير النسبية

• جذور أرقام معينة مثل المربع والمكعب لأعداد معينة مثل
• النسبة الذهبية وقيمة النسبة الذهبية هي 6180339887……. ويستمر إلى ما لا نهاية.
• ثابت أويلر e هو أحد الأعداد غير النسبية وقيمته 718281828459…….. وتستمر هذه العلاقة إلى عدد لا نهائي ولا يمكن كتابتها على الصورة.
• لا يمكن لعمليات الجمع أو الطرح على الأعداد غير النسبية أن تنتج أعدادًا نسبية إلا إذا كان الرقمان النسبيان متساويان ولكن لهما إشارات مختلفة، فتكون النتيجة رقمًا نسبيًا، وهو صفر.

أرقام حقيقية

وهي الأعداد الموجودة على خط الأعداد وتشمل الأعداد النسبية وغير المنطقية والموجبة والسالبة، وحتى الصفر يعتبر عددًا حقيقيًا.

الأرقام الصحيحة

• يتضمن أرقامًا موجبة وسالبة ولا يتضمن أرقامًا منطقية أو أرقامًا عشرية. تعتبر الأعداد الصحيحة أعدادا كسرية لأنه يمكن كتابتها على صورة بسط ومقام، مثل
• 5 هو عدد موجب ويمكن كتابته على الصورة
• -7 عدد سالب ويمكن كتابته على الصورة

رئيس الوزراء

• هي مجموعة الأعداد التي تقبل القسمة على نفسها أو التي تقبل القسمة على الوحدة الصحيحة مثل 2، 3،…)).

ارقام مركبة

• هذا هو ما تبقى من الأعداد غير الأولية.

عدد صحيح

• وهي أعداد طبيعية زائد صفر أيضًا.

الأعداد الزوجية والفردية

• الأعداد الزوجية هي أعداد صحيحة تقبل القسمة على 2 ولا يوجد بها باقي.
• الأعداد الفردية هي أعداد صحيحة لا تقبل القسمة على 2 ولها باقي.

الأرقام السالبة والأرقام الإيجابية

• الأعداد السالبة هي أعداد صحيحة أقل من الصفر.
• الأعداد الموجبة هي أعداد صحيحة أكبر من الصفر.

أرقام مختلطة

وهو الذي يمكن كتابته على صورة كسر ولا يمكن أن يساوي مقامه صفرًا ويكون البسط والمقام عددًا صحيحًا.

إنه أحد أشكال الأعداد العقلانية ويمكن التعبير عنه بـ .

الكسور العشرية

• الكسور العشرية النسبية: هي تلك التي يمكن إنهاء أرقامها العشرية وكتابتها على الصورة الكسرية، مثل 8، وكتابتها على الصورة الكسرية.
• الأعداد العشرية غير النسبية: هي تلك التي لا يمكن إنهاء كسرها العشري، مثل pi الذي يساوي 41592653589… وهو عدد عشري لا نهائي.

يسير نظام التعليم الآن في اتجاه تبسيط المعلومات قدر الإمكان. وذلك حتى يتمكن الطالب من فهمها بسهولة دون مزيد من التعقيدات.

الأسئلة الشائعة

• ماذا يعني الرمز N في الرياضيات؟

  يمثل مجموعة الأعداد الطبيعية.

• ماذا يعني حرف R في الرياضيات؟

  يمثل الرمز R في الرياضيات الأعداد الحقيقية.

• متى يكون الرقم قابلا للقسمة على 9؟

  إذا كان مجموع أرقامها (أماكنها) يساوي (9) أو أحد مضاعفاتها.