فيثاغورس هو اسم العالم الذي اخترع النظرية، وينسب اسمها إليه، وكان من أكفأهم علميا، لأنه اهتم بالهندسة وعلم الكون في شبابه، مما ساعده على التفوق في الرياضيات، ومن ثم وقام بتطوير نظرية فيثاغورس الشهيرة.
جدول المحتويات
عنصر البحث
- مقدمة للبحث.
- نص قانون فيثاغورس.
- إثبات نظرية فيثاغورس.
- تطبيقات نظرية فيثاغورس.
- خاتمة البحث.
تحميل مقال عن نظرية فيثاغورس PDF
مقدمة للبحث في نظرية فيثاغورس
فيثاغورس هو عالم يوناني متخصص في الرياضيات منذ ما قبل الميلاد، وقد قام بتطوير نظرية فيثاغورس التي تعتبر من أقدم النظريات الرياضية المعروفة منذ القدم، والتي بفضلها تم تسهيل أداء العديد من المهام في مختلف المجالات.
نص لقانون نظرية فيثاغورس
تنص نظرية فيثاغورس على أن مجموع مربعي ضلعي الزاوية القائمة (الضلعان الأقصر في المثلث) يساوي مربع طول الضلعين (الضلع الأطول في المثلث). النظرية بالرموز: نظرية فيثاغورس = A² + B² = C².
حيث (أ، ب) هما ضلعا المثلث القائم، و (ج) هو وتر المثلث القائم، مع العلم أن عكس النظرية صحيح أيضًا؛ لأن كل مثلث تنطبق عليه النظرية هو مثلث قائم الزاوية.
إثبات نظرية فيثاغورس
يمكن استخدام عدد كبير جداً من البراهين لإثبات نظرية فيثاغورس، والتي نشرها عالم الرياضيات إليشا سكوت لوميس في كتابه “فرضية فيثاغورس” الذي أطلقه عام 1927م، حيث قدم أكثر من 370 برهاناً مختلفاً للنظرية، والتي تم تقسيمها إلى أربعة أقسام.
- قسم الهندسة (البحث).
- قسم الجبر (أضلاع المثلث).
- قسم الديناميكيات/الحركية (خصائص القوة والكتلة).
- قسم المتجهات.
أصبح البرهان الهندسي لنظرية فيثاغورس شائعًا بين عدد كبير من الأشخاص على مر السنين ويتم إجراؤه وفقًا للخطوات التالية:
- نفترض أن هناك مربعًا به نقاط (د، ه، و، ي) على جوانبه الأربعة، بحيث تقسم كل نقطة الصفحة إلى قسمين.
- نحسب طول الضلع الأول (أ) وطول الضلع الثاني (ب)، ثم نوصل النقاط بخطوط مستقيمة لتكوين مربع داخلي طول ضلعه (ج)، بالإضافة إلى أربعة أضلاع قائمة المثلثات الداخلية التي الوتر هو الضلع (C) وطول الضلعين الآخرين (A، B).
- وينتج عن ذلك أن يكون طول ضلع المربع الخارجي (أ + ب)، وبالتالي فإن مساحة المربع الخارجي تساوي (أ + ب)²، وهي نفس مساحة المثلثات الأربعة.
- مساحة المثلثات الأربعة = 4 * (1/2 طول القاعدة * الارتفاع) = 2/4 * أ * ب = 2 أب، بينما مساحة المربع الداخلي = ج²
- نذهب لإيجاد مساحة المربع الخارجي وهي: (a+b)²= 2ab+c²، ثم نقوم بتفكيك المربع لتبسيط الصورة، حتى يصبح a²+2ab+b²= 2ab+c².
- رتب طرفي المعادلة حتى تحصل على الصورة: a²+b²=2ab+c²-2ab.
- تخفيض الحدود لتصبح المعادلة: A² + B² = C²، مما يثبت النظرية، حيث أن (C) هو الوتر، فيكون مربع الوتر مساوياً لمجموع مربعي الضلعين.
تطبيقات نظرية فيثاغورس
1- حساب أضلاع المثلثات
نظرية فيثاغورس هي النظرية التي تشرح أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية، وهي الطريقة المستخدمة اليوم لحل المسائل الرياضية المتعلقة بها.
2- تحديد زاوية المربع
التحقق من الشكل التربيعي سواء في المسائل الرياضية، أو شكل المباني على الأرض، هي مهمة تتم من خلال نظرية فيثاغورس، حيث يتم تطبيقها على مثلث أطوال أضلاعه 3 و4 و5 سنتيمترات.
وبما أنها أبعاد مثلث قائم الزاوية، أي أن قياس إحدى زواياه 90 درجة، مما يساعد البناءين عندما يريدون بناء زاوية بين جدارين، فإنهم يشكلون مثلثاً من ثلاثة حبال طولها يساوي الأطوال السابقة.
الزاوية المقابلة هي وتر المثلث، وهي الزاوية القائمة التي يمكن من خلالها التحقق من الموضع الصحيح للجدران أو الأساس بالخطوط الصحيحة.
3- فيثاغورس في البناء
يستخدم البناءون أحيانًا نظرية فيثاغورس لحساب طول القطر بين خطين مستقيمين، خاصة في البناء المادي أو مشاريع الأعمال الخشبية، مثل بناء الأسقف المائلة.
4- المسافة بين نقطتين
تُستخدم نظرية فيثاغورس أيضًا لحساب مسافة الخط المستقيم الذي يصل بين نقطتين على المستوى x-ja، وهما الإحداثيات الافتراضية لنقطتين (x، y).
5- فيثاغورس في الملاحة
وتستخدم النظرية لحساب أقصر مسافة يمكن أن تكون بين نقطتين في نظام ثنائي الأبعاد، وهي مفيدة على سبيل المثال لشخص على متن سفينة في البحر، يريد الوصول إلى نقطة تبعد 300 ميل من الجهة الشمالية و 400 ميل من الجانب الغربي .
وباستخدام قانون فيثاغورس، يمكنه معرفة المسافة بينه وبين تلك النقطة، بالإضافة إلى تحديد درجات الزاوية التي يجب معرفتها للوصول إليها.
ويتم ذلك بافتراض أن المسافتين غرباً وشمالاً هي أضلاع المثلث، وأن أقصر مسافة يمكن الوصول إليها هي قطر المثلث، ثم نتبادل الرموز والأرقام ونحل المعادلة.
وهناك من يستخدم هذا القانون حتى في الملاحة الجوية، مستخدماً الارتفاع عن سطح الأرض والمسافة بينه وبين الوجهة الموجودة في المطار.
6- فيثاغورس في النقل
يعد العثور على الضلع الأطول للمثلث القائم أمرًا مهمًا جدًا عند هبوط الطائرات، حيث أنه يتم حساب الدرجة التي ستهبط بها الطائرة.
وفي مجال النقل البري تساعد النظرية على حساب قيمة الحبل وتحديد كمية الحبل اللازمة لنقل البضائع المنقولة بالشاحنات من نقطة إلى أخرى مما يضمن الحفاظ على الحياة والبضائع المنقولة من الانهيار، خاصة إذا كان حجمها ضخما .
7- فيثاغورس في المساحة
المسح هو المهمة المنوطة بما يقوم به رسامي الخرائط من حساب المسافات والارتفاعات الرقمية بين النقاط المختلفة قبل رسم الخريطة، وبما أن التضاريس غالباً ما تكون غير مستوية؛ يلجأ الرسامون إلى أساليب تجعل قياسات المسافة تتبع نظامًا محددًا.
8- فيثاغورس في علم الفلك
يساهم فيثاغورس في معرفة المسافات بين الكواكب والنجوم، وهو أمر له أهمية كبيرة في علم الفلك، لكن القانون لا يستخدم بشكل مباشر، بل يتم استخدام نسخة معدلة منه، وهي: c^2 = a^2 + b^ 2 – 2*أ*ب*كوس ج
ويرجع استخدام هذه المعادلة إلى حقيقة أن الزوايا ليست كلها قائمة؛ بسبب الدورات غير الدائرية وصعوبة تحديد أو حساب المسافة الأصلية.
إذا كانت الزاوية قائمة، يتم استخدام القانون الأصلي، وهو: C^2 = A^2 + B^2؛ لأن قيمة cos الزاوية القائمة هي صفر، وهو ما يساوي الجزء الأخير من المعادلة الذي يأتي بعد سالب صفر.
اختتام دراسة حول نظرية فيثاغورس
كان للأرقام أهمية ومعنى كبير عند علماء العصور السابقة مقارنة بعلماء اليوم، لدرجة أن العالم فيثاغورس كان يعتقد أن كل ما حوله عبارة عن أرقام، واعتبرت نظرية فيثاغورس الأشهر في العالم منذ آلاف السنين.
ظهرت نظرية فيثاغورس في البداية بشكل معقد للغاية، حتى جاء العالم فيثاغورس واستطاع إثبات صحتها بطريقة مبسطة سهلت استخدامها في العديد من المجالات، ومنذ ذلك الحين نسبت إليه.